新智元报道
编辑：Aeneas
这一年，数学领域有什么大事？Quanta Magazine 做了一份全年总结。
我们可以把数学家想象成考古学家——他们煞费苦心地拂去世界隐藏结构上的灰尘。
不过，有一点不同。数学家揭示的结构不仅是持久的，而且是不可避免的。不可能有任何其他方式。
数学和考古学之间也有着一种显著的相互联系：尽管每年随着新发现的出现，数学的前沿不断扩大，但随着看似遥远的领域之间出现越来越多的联系，分支学科不像之前那样蔓延开了。
对于非本专业的人来说，很难向他们解释清楚，其中的一些联系是多么令人震惊。
一篇 6 页的短论文指出，结构何时会出现在随机图中。一篇 912 页的长论文表明，缓慢旋转的黑洞将会一直缓慢旋转下去，直到时间尽头。
有些数学结果不仅对公众，对其他数学家来说也是难以理解的。
Quanta Magazine 采访了杜克大学的数论学家 Lillian Pierce，讲述了她为让更多数学家理解重要的证明和技术所做的工作。
还采访了 Wei Ho，他发现了椭圆曲线方程的整数解数量的新界限。
Alex Kontorovich 在一段视频和随附的专栏中讨论了广泛的 Langlands program，该计划把不同的数学领域间联系了起来。
尽管其中许多结果还没有直接的实际应用，但或许，其中的某些抽象结果，最终会成为提出新的、安全的加密算法或更新现代通信所需的纠错码的关键。
从 Quanta 过去一年的数学报道中可以清楚地看出，并没有一条特定的路径，能够让人成为发现从未有人发现的基本真理的数学家。
有些人从小就特别专注于数学；有些人是半路出家。有些人符合心不在焉的天才的刻板印象；有些人并不是。
正如 Huh 所说，当谈到人类思维如何实现数学推理的飞跃时，「承认我们不知道发生了什么，是一件很美妙的事。」
那些获奖的数学家们
每四年，国际数学联合会都会向四位 40 岁以下的数学家，颁发一枚刻有阿基米德头像的金币，「以表彰他们在现有工作和未来成就方面的杰出数学成就。」
今年的菲尔兹奖，颁给了 June Huh、James Maynard、Maryna Viazovska 和 Hugo Duminil-Copin。
在一篇简介中，Huh 解释说，数学可以给他诗歌所不能的东西——「寻找自身之外的美的能力，尝试把握外在、客观和真实东西的能力。」
该奖项表彰了他对许多不同猜想的证明。当他证明了里德猜想时，他发现了一个“隐藏在图的组合属性之下”的深层几何结构。
Maynard 获奖是因为他在解析数论方面的发现。研究生毕业后不久，他证明了相差 600 或更小的素数对有无穷多个。
这是一个具有里程碑意义的结果，但如果另一位数学家没有在几个月前证明素数对之间的间隙存在有限界，那么它会更加重要。这就是两位数学家，在素数分布问题上取得了并行的进展的例子。
而 Maynard 通过证明存在无限多个不包含给定数字（例如 7）的素数，补充了他关于素数间隙的工作。
人们早就知道，在平面上排列圆圈最密集的方式，就是在蜂窝中。
十年前，一个自 17 世纪以来一直存在的，关于如何在三维空间中最有效地排列球体的猜想，得到了证明。但更高的维度一直是个谜。
Viazovska 证明，特定的八维晶格提供了在八维空间中堆积球体的最有效方式。
她和合作者对该结果进行了概括，证明了这种晶格在各种情况下，都能最大限度地减少系统的能量。
第四位菲尔兹奖获得者 Duminil-Copin，因提出液体如何流过多孔介质的广义理论而获奖。
菲尔兹奖并不是数学界今年颁发的唯一奖项。
Dennis Sullivan 因其对拓扑学的贡献，而获得 Abel 奖，其中包括提出一种对某些类型的流形(manifold)进行分类的新方法——空间在小范围内看起来是平坦的，但在整体检查时会更加复杂。
因为更好地理解了用于模拟电子行为的准周期算子(quasi-periodic operators)，Svetlana Jitomirskaya 获得了第一届 Ladyzhenskaya 数学物理学奖。
旧数论问题的新证明
继成果大爆发的 2021 年之后，对于各年龄段的数论家来说，2022 年也是丰收的一年。
高中生 Daniel Larsen 发现了称为卡迈克尔数的伪素数之间的差距的界限，例如 561 在某种意义上类似于素数，但可以被分解（在这种情况下 561 = 3 × 11 × 17）。
牛津大学的研究生 Jared Lichtman 证明，根据某种衡量标准，实际素数是原始集的最大示例。
加州理工学院的两位数学家证明了 1978 年的一个猜想，这个猜想预测立方高斯求和，它对某些素数以形式的数求和，加起来总是得到大约为 $latex p^{5/6}$的结果。
他们证明了广义黎曼猜想的真实性，此前数学家普遍认为它是真实的，但尚未证明。
与此同时，黎曼假设的一个倍更简单的类比（次凸性问题）被解决了。
一对数学家证明，一个整数的质因数是偶数还是奇数，对其前后的整数是偶数还是奇数没有影响。
另一组表明，至少2/21 且不超过5/6 的整数，可以写成两个立方分数之和。
1993 年，一位名叫 Peter Stevenhagen 的数学家推测，不是奇素数时，方程在 58% 的情况下有整数解。（当它是奇素数，如 3 或 7 时，方程解不出来）。
今年，他的假设得到了证实。
这是几个长期存在的猜想之一，后来都被证明是正确的。
30 年前 André-Oort 猜想关于志村簇结构(Shimura varieties)的猜想终于得到证明，85 年前的范德瓦尔登猜想(Van der Waerden conjecture)也被证明了，这个猜想推测出有多少多项式具有不可互换的根。
在 1970 年代，Paul Erdős和 Ronald Graham 假设足够大的整数集必须包含倒数和为 1 的子集，这一点在今年得到了证明。
数学家还证明了，如此大的整数集必须包含称为无限和集(infinite sumset)的东西，他们使用了动力系统研究的方法，证明了这一点。
机器学习数学
深度学习是一种广泛使用的 AI 技术，它在国际象棋和围棋等游戏中击败了冠军，并在语音识别等任务中被证明极其准确，而它也被用在某些数学领域。
研究人员用它来寻找不寻常的奇点，即模拟流体流动的方程式中的崩溃点。
一个团队使用了计算机辅助证明，明确证明了模拟某些类型的理想流体的特定版本的欧拉方程式会崩溃。
还有一个团队研究了相关的 Navier-Stokes 方程(它可以更准确地模拟大多数真实世界的流体)，想看看它们是否也会崩溃。（任何证明这一点的人，都将赢得克莱数学研究所颁发的百万美元奖金。）
其他一些团队使用机器学习来解决图论和组合学中的问题，创造了更好的矩阵乘法技术，并提出纽结理论中的新猜想。
Sébastien Bubeck 和 Mark Sellke 通过使用数学技术分析神经网络，来证明它们要稳健地工作必须有多大，从而扭转了局面。
在 Quanta 的 Joy of Why 播客中，Steve Strogatz 询问了 Kevin Buzzard 计算机是否可以成为数学家，并与 Melanie Matchett Wood 讨论了数学家如何才能真正相信某个结果已被证明。
气泡、形状和空间
几何学家们也度过了同样忙碌的一年。
5 月，Emanuel Milman 和 Joe Neenan 发现了气泡簇的形状，可以在任何维度上最有效地包围三到四个体积。
Isabel Vogt 和 Eric Larson 解决了插值问题，即某些类型的曲线可以通过高维空间中的多少个随机点。
Andras Máthé、Oleg Pikhurko 和 Jonathan Noel 解决了一个更古老的问题，弄清楚了如何将一个圆切割成可视化的部分，然后再重新排列成正方形。
Martin 和 Erik Demaine（父子俩）发表了一篇论文，展示了如何将任意多面体折叠成平面形状——只要允许有无限多的折痕。
八月，数学家和物理学家合作发表了一篇论文，阐述了一个关于薄型材料的曲率如何影响其被压扁时形成皱纹的新理论。
Dusa McDuff 和几位合作者发现，当他们试图将被称为椭圆体的形状嵌入 Hirzebruch 表面时，出现了复杂的分形结构——这是一个没有人想到会发现分形的地方。
其他数学家在证明 Kakeya 猜想方面取得了进展，这个猜想对需要多大的空间才能转动一根针，使其指向任何方向作出了限制。但目前人们对于该猜想在实数领域是否真的存在，还存在疑问。
拓扑历险记
Will Hide 和 Michael Magee 在 2021 年使用从图论中借用的技术，展示了高属曲面类型的存在，它们以一种长期以来被认为、但未被证明的方式，与自身紧密联系在一起。
Ian Agol 证明了 1981 年关于如何对节点的复杂性进行排序的猜想。
二维空间的结可以用来划定一个叫做塞弗特曲面的边界。许多即使在三维空间中操作结点也彼此不同的塞弗特曲面，如果在四维空间中操作结点，就可以使其等价。
拓扑学家首次发现了一对即使在四维空间中也仍然彼此不同的塞弗特面。
随机结构的出现
三月份发表的一个非常简短的证明证明了 Kahn-Kalai 猜想，这个猜想列出了结构在随机图中出现的条件。
在此之前，1 月份的一个证明表明，只要把超图（一种高度连接的图的泛化）做得足够大，就总是有可能以满足两个看似不相容的标准的方式，建立一个超图。
新的图论结果不断涌现。
4 月，Oliver Janzer 和 Benny Sudakov 回答了一个长达半个世纪的问题，即什么时候图必须不可避免地变得「有规律」，或者说，以每个节点都与相同数量的边相连的方式相互连接。
参考资料：
https://www.quantamagazine.org/the-biggest-math-breakthroughs-in-2022-20221222/
