闻乐发自凹非寺
量子位 | 公众号 QbitAI
AI 进军数学界的速度太快了。
OpenAI 前脚刚用内部模型突破埃尔德什的 80 年单位距离问题，谷歌 DeepMind 后脚就解决一个同样卡了人类56 年的埃尔德什数学难题——
最新发布 AlphaProof Nexus，一套由 Gemini 驱动的智能体框架，一出手就是 9 个埃尔德什开放问题
除了这 9 道，它还顺手证明了 OEIS 整数序列百科里的 44 个猜想、搞定了一道搁置 15 年的代数几何难题、还改进了凸优化领域里一个沿用已久的理论边界。
推理成本呢？每道题几百美元，整套证明代码也全都开源放在了 GitHub 上。
这篇论文共有 20 位作者，其中的Aja Huang，也是 2016 年AlphaGo的核心研究员。
56 年没人做出来的题，AI 给了什么答案
AlphaProof Nexus 解决的这几道题，咱挑三道最有意思的说说。
Erdős#12，1970 年提出，悬置 56 年
这道题问的是：你能不能找出一个无限大的整数集合，满足两个听起来很别扭的条件：
第一，任意从中挑三个不同的数字a、b、c，a永远不能整除b加c的和。
第二，这组数不能太零散，在自然数里要保持一定的密度。
简单理解就是，这群数字之间，既不能一个数整除另一个数，也不能一个数整除另外两个数的和，同时数字还要分布得相对密集，不能只挑寥寥几个数投机取巧。
从 1970 年开始，就没人能给出这个集合的完整构造，各种局部进展有，但始终拼不成一个整体解。
AI 的解法是用中国剩余定理把大问题拆成许多个独立的区块，每个区块内部用三项等差数列的回避集来满足约束，然后把所有区块拼回一个完整的无限集。
Erdős#125，1996 年提出，30 年没有定论
这道题听着就更奇怪了。
想象两个数字集合：第一个集合里全是“在三进制下只由数字 0 和 1 组成的整数”，第二个集合里全是“在四进制下只由数字 0 和 1 组成的整数”。把这两个集合里所有数字两两相加，得到一个新集合。
问：这个新集合里的数字在自然数中出现的频率（数学上叫下密度）是不是正的？
直觉上你可能会觉得，两种集合包含的数字本来就不算很多，加起来应该也挺稀疏的。
但稀疏到什么程度？是彻底稀到密度归零，还是多少保持一点正密度？
这中间的差别非常微妙，1996 年提出后一直没定论。
AI 的答案是：密度为零。
证明思路是 log₄除以 log₃是无理数。这意味着 3 的幂次和 4 的幂次可以以任意精度彼此逼近。
利用这一点，AI 构造了一个归纳性稀疏化论证：不断找到两个几乎对齐的尺度，让密度以 0.99 的比率一步步衰减，直到彻底归零。
一个纯数论的性质，解决了一个组合几何的问题。
Erdős#846，1992 年提出，卡了人类 34 年。
这是个平面几何题，AI 证明了存在这样一个无限扩展的平面点集：
你从中任意挑出有限个点，总能发现其中大部分点是不共线的——
随便截一段，看起来都挺正常，但当你试图把这个无限集合拆分成有限个“绝对没有任何三点共线”的子集时，办不到。
一个集合的每个有限局部都正常，但整体顽固得不可拆分。这种全局与局部的张力，是组合几何里最难的那一类问题。
AI 把完全图的每条边映射到平面上一个点，用二次多项式编码坐标，再拉上无穷 Ramsey 定理完成证明，把一个几何问题翻译成了图论和逻辑的语言。
除了这三道，还有六道分别在整除集构造、范德瓦尔登数间隙、西顿集孤立点、集合拆分密度等领域。
同时，AlphaProof Nexus 还在 OEIS 整数序列百科里证明了 44 个开放猜想，在代数几何那边解决了一道希尔伯特函数对数凹性的 15 年悬案，凸优化那边改进了一个锚定梯度下降法的理论边界。
菲尔兹奖得主陶哲轩曾经提醒过，AI 目前解决埃尔德什问题的实际成功率大约在1-2%，这次谷歌的系统挑战了 353 道题，解开 9 道，比例刚好对上了。
用几百美元算力换一道 56 年难题
AlphaProof Nexus 的架构核心用一句话就能说清楚，Gemini 3.1 Pro 生成 Lean 语言证明步骤→Lean 编译器逐行检查→报错直接反馈给模型→模型根据报错修改→再检查→循环到全部通过。
好家伙，这有点像平时写代码，只不过现在 Debug 的是数学定理……
在这套框架里，DeepMind 设计了四个 Agent
最简单的 Agent A是同时启动多个独立子 Agent，先靠 Gemini 3.1 Pro 梳理解题思路，动手编写证明代码。
写完立刻交给编译器核验，一旦报错，错误信息就会传回模型，让它不断修改、重试，直到通关。
全程没有额外辅助工具，纯靠写代码+查错循环。
Agent B 多了一样东西，AlphaProof。
AlphaProof 是 DeepMind 之前专门为奥数级别题目训练过的强化学习证明工具。
当 Agent A 模式在某个小步骤上反复卡住、编译器反复报错也修不过来时，Agent B 可以调用 AlphaProof 做一次强化学习驱动的树搜索，专门攻击这个局部难点。
Agent C 引入了进化算法的思路。
前面两种 Agent 的子 Agent 都是各自独立工作的，互不交流。
Agent C 是所有子 Agent 共享一个证明草图种群，每一个子模块都会产出不同的证明草稿。
然后由另一个模型从合理性、清晰度、新颖性三个维度给每一份草稿打分，用 Elo 评分系统排名。
高分草稿会相互组合，衍生出新解法，低分草稿直接淘汰，整个种群在证明空间里做进化搜索。
Agent D 是全功能完全体，进化筛选思路+专项工具攻克难点+大模型逻辑推理，三股力量在一个框架里协同，也是这次批量破解难题的主力。
这么看下来，我以为最强的 Agent D 应该会碾压一切，Agent A 只当个对照组。
结果没想到论文里表明最简单的 Agent A，同样能解出全部 9 道题
没有进化算法，没有 AlphaProof，就一个 LLM 循环加编译器反馈的 Agent A，只是在难题上更费钱一点。
研究团队把原因归为两个：
- 一是 Gemini 3.1 Pro 本身的能力已经足够强了；
- 二是 Lean 编译器的那层实打实的纠错反馈，对 AI 的引导作用，远比人们预想的更大。
这个结果或许也在预示着，未来随着大模型能力持续升级，复杂的多工具组合系统，可能不再是刚需，只用大模型+专业校验工具这套简单循环，就能搞定大多数数学难题。
而且这套方案的优势也体现在成本上，单题仅需几百美元。
埃尔德什生前为这些难题设置了悬赏，只是他不会想到——
解开这些谜题的可能不是人类智慧，而是算力。
论文地址：https://arxiv.org/abs/2605.22763v1
Github 地址：https://github.com/google-deepmind/alphaproof-nexus-results
[1]https://x.com/pushmeet/status/2058936037754224998
— 完 —
